Доказательство суммы внешних углов треугольника

28.06.2025 в 22:21

В геометрии существует важное свойство внешних углов треугольника, которое мы докажем математически. Рассмотрим произвольный треугольник ABC и докажем, что сумма его внешних углов равна 360°.

Определение внешнего угла

Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с внутренним углом треугольника. Для каждой вершины можно построить два внешних угла, равных между собой как вертикальные.

Доказательство теоремы

Шаг 1. Обозначим углы треугольника

• Внутренний угол при вершине A = α
• Внутренний угол при вершине B = β
• Внутренний угол при вершине C = γ

Шаг 2. Выразим внешние углы

Каждый внешний угол равен 180° минус соответствующий внутренний угол:

• Внешний угол при A = 180° - α
• Внешний угол при B = 180° - β
• Внешний угол при C = 180° - γ

Шаг 3. Сумма внутренних углов

По теореме о сумме углов треугольника:

α + β + γ = 180°

Шаг 4. Вычислим сумму внешних углов

Сложим все внешние углы:

(180° - α) + (180° - β) + (180° - γ) = 540° - (α + β + γ)

Шаг 5. Подставим сумму внутренних углов

540° - 180° = 360°

Итоговый результат

Геометрическая интерпретация

Если представить, что мы обходим треугольник по периметру, поворачиваясь в каждой вершине на внешний угол, то в итоге совершим полный поворот на 360°, что соответствует нашей доказанной сумме.

Следствия из теоремы

• Для любого треугольника сумма внешних углов постоянна
• Не зависит от вида треугольника (остроугольный, прямоугольный, тупоугольный)
• Внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним